Định lý cosin
Bản chất của định lý cosin
Định lý cosin là công cụ quan trọng nhất giúp ta giải các bài toán về tam giác không vuông. Nếu định lý Pitago chỉ áp dụng cho tam giác vuông, thì định lý cos mở rộng phạm vi cho mọi loại tam giác.
Xét một tam giác ABC với ba cạnh a, b, c tương ứng đối diện với các góc A, B, C. Công thức của định lý cos được phát biểu như sau:
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
Nếu góc A là 90°, cos(A) = 0, công thức lập tức trở về dạng Pitago quen thuộc: a² = b² + c². Điều này cho thấy định lý cos chính là sự mở rộng, tổng quát hóa định lý Pitago trong trường hợp tam giác không vuông.
Ý nghĩa hình học của công thức
Định lý cos mô tả sự thay đổi chiều dài cạnh theo độ mở của góc. Khi góc A tăng, giá trị cos(A) giảm, kéo theo độ dài cạnh đối diện a tăng. Ngược lại, khi góc A nhỏ, cạnh a sẽ ngắn hơn. Điều này giúp ta hình dung rõ ràng mối quan hệ tỷ lệ giữa góc và cạnh.
Hình minh họa tam giác áp dụng định lý cos với góc APhương pháp chứng minh qua hình học phẳng
Giả sử tam giác ABC. Từ đỉnh C, ta hạ đường cao CH xuống cạnh AB. Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông, sau biến đổi ta có:
a² = c² + b² - 2bc·cos(C).
Cách chứng minh này thể hiện rõ bản chất hình học: phần “-2bc·cos(C)” chính là hiệu chỉnh cho trường hợp tam giác không vuông, thể hiện mức độ lệch của tam giác so với dạng vuông chuẩn.
Từ công thức tính cạnh đến công thức tính góc
Khi biết độ dài ba cạnh a, b, c, ta có thể suy ra giá trị cos của góc xen giữa bằng cách biến đổi công thức:
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc).
Biểu diễn công thức định lý cos tính góc trong tam giác bất kỳTrong giải tam giác và lượng giác học
Định lý cos được dùng để giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa (SAS), hoặc khi biết cả ba cạnh (SSS) để tìm góc. Điều này hữu ích trong các bài toán đo đạc địa lý.
*Ví dụ: Tam giác ABC có b = 8 cm, c = 6 cm và góc A = 60°, ta tính cạnh a: a² = 8² + 6² - 2×8×6×cos(60°) = 52. Suy ra a = √52 ≈ 7.21 cm.*
Trong vật lý và cơ học
Trong vật lý, định lý cos được ứng dụng để tính hợp lực của hai vector không vuông góc. Nếu hai lực F₁ và F₂ hợp với nhau góc α, thì hợp lực R có độ lớn:
R² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂·cos(α).
Công thức này giúp xác định hướng và độ lớn của lực tổng hợp. Nó cũng là cơ sở để phân tích dao động, chuyển động quỹ đạo và được dùng trong kỹ thuật cơ khí, xây dựng để tính độ nghiêng, lực kéo.
Trong trắc địa và định vị GPS
Khi đo khoảng cách giữa hai điểm trên mặt đất, người ta sử dụng công thức cosin cầu (phiên bản trên mặt cầu của định lý này) để tính độ dài cung giữa hai điểm dựa vào kinh độ, vĩ độ và góc giữa chúng.
Định lý cos được ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật và đo đạc GPS